Каждый, кто прошел через курс линейной алгебры или физики в универе, помнит этот странный дуализм. Нас учили, что у векторов есть целых ДВА вида произведения. Первое,

скалярное

, съедает два вектора и выдает число. Геометрически — это что-то про проекции и углы. Второе,

векторное

, тоже съедает два вектора и… внезапно выплевывает третий вектор, перпендикулярный первым двум. Причем работает этот фокус только в 3D и 7D.

Всегда казалось, что это какой-то математический «костыль».

Почему так сложно? Почему два разных продукта для разных задач? Почему один зависит от косинуса, а другой от синуса?

Что, если я скажу вам, что это действительно «костыли»? Что существует единое, универсальное и элегантное геометрическое произведение, которое включает в себя оба этих случая (и многое другое), и которое основано на одной-единственной, кристально ясной идее. Идее, которая меняет взгляд на саму суть математики.

Эта статья — приглашение в мир Геометрической Алгебры. Мы собираемся переизобрести умножение.

Примечание об обозначениях.

Поскольку в статье встречаются несколько видов умножений, будем различать их так

или отсутствие знака — новое геометрическое произведение

— скалярное произведение

∧ — внешнее произведение

Часть 1. Философия — каждому объекту по трансформации

Всё-таки, что-то есть в этой студенческой шутке, популярной в МФТИ: "каждому лектору в ...у по вектору, а Дмитрию Владимировичу — ортонормированный базис" .

Тут речь идет о Беклемишеве, благодаря которому не только в МФТИ, но и по всему СССР преподавание линейной алгебры стало столь тесно связанным с аналитической геометрией. Когда он был еще 25-летним аспирантом мехмата МГУ, ему пришла в голову эта светлая идея — преподавать сложные абстракции с помощью наглядной науки, и он принялся внедрять ее в МФТИ. Его ждал невероятный успех — к 40 годам созданный Беклемишевым совершенно новый курс в тех или иных вариациях стал распространяться по всему СССР, а он сам преподавал векторную алгебру на советском телевидении.

Вполне может быть, что и новые курсы, основанные на геометрической алгебре, в наше время смогут получить похожую популярность. Всё-таки, здесь мы выходим на совершенно новый уровень — научимся оперировать не только векторами, но целыми базисами сразу.

Давайте начнем с простой, но глубокой мысли. Что, если каждый математический объект — это не просто статичная сущность, а оператор, выполняющий преобразование?

Число 5: это не просто «пять яблок». Это оператор «увеличить в 5 раз».
Комплексное число i: это не просто √-1. Это оператор «повернуть на 90 градусов». Умножьте на i еще раз — повернете на 180. Отсюда и i² = -1.

Эта философия превращает математику из описательного языка в язык действия. Объекты — это глаголы, а не существительные.

Хорошо, а что тогда вектор? Какое фундаментальное геометрическое преобразование он должен олицетворять с помощью умножения?

Это не может быть сдвиг — за это отвечает сложение (v + a). Не может быть и простое масштабирование. Какое самое базовое, самое элементарное геометрическое действие, которое можно совершить в пространстве?

Отражение.

Ключевая идея: давайте предположим, что вектор — это не стрелка. Вектор — это зеркало.

Единичный вектор n задает нам ориентацию зеркала, стоящего в начале координат и перпендикулярного этому вектору. Вся суть вектора — отражать другие объекты.

Вектор n действует как зеркало, отражающее вектор v

Но почему n—это именно перпендикуляр к зеркалу?

Векторы vиnлежат в одной плоскости, и задают одну плоскость (за исключением случая, когда они параллельны). Так что задавать вектор nможет любое положение зеркала на этой плоскости. Куда удобнее сделать сам вектор nзеркалом.

Вся мощь геометрической алгебры вырастет из этого простого предположения.

Часть 2. Изобретаем умножение с нуля

Итак, вектор — это зеркало. Как нам описать операцию отражения математически? Мы хотим найти такое «умножение» (), чтобы оно позволило нам отражать один вектор v относительно другого вектора n.

Но вместо того, чтобы подгонять формулу под ответ, давайте поступим как настоящие исследователи. Давайте потребуем от нашего умножения одно-единственное, но очень важное свойство: обратимость.

В обычной алгебре уравнение 5x = 10 решается делением. Деление — это умножение на обратный элемент (x = 10 * 5⁻¹). Мы хотим так же решать и геометрические уравнения! Если ax = b, мы хотим найти x как a⁻¹b.

Чтобы это было возможно, для любого ненулевого вектора a должен существовать обратный a⁻¹. Логично предположить, что a⁻¹ как-то связан с a. Самый простой вариант — a⁻¹ пропорционален a.

Это значит, что произведение вектора на самого себя, a*a, должно быть простым скаляром. Ведь если a*a = k (где k — число), то мы легко находим a⁻¹ = a/k. Какой скаляр, связанный с вектором, самый главный? Конечно, квадрат его длины!

Постулат 1 (и единственный):

Произведен��е вектора на самого себя — это скаляр, равный квадрату его длины. v*v = |v|²

Это всё. Больше нам ничего не нужно. Всё остальное мы выведем.

Давайте посмотрим, к чему приведет этот, казалось бы, скромный постулат. Возьмем два вектора a и b и раскроем квадрат их суммы, как в школе:

(a+b)² = (a+b)*(a+b) = a*a + a*b + b*a + b*b

Используя наш постулат, заменим a*a на |a|² и b*b на |b|²:

(a+b)² = |a|² + |b|² + a*b + b*a

С другой стороны, (a+b) — это тоже вектор. А квадрат любого вектора, по нашему постулату, это квадрат его длины:

(a+b)² = |a+b|²

А квадрат длины вектора суммы мы знаем из школы по теореме косинусов:

|a+b|² = |a|² + |b|² + 2|a||b|cos(θ).

Но |a||b|cos(θ) — это же в точности скалярное произведение a·b !

Получаем: (a+b)² = |a|² + |b|² + 2(a·b) .

А теперь приравняем оба выражения для (a+b)² :

|a|² + |b|² + a*b + b*a = |a|² + |b|² + 2(a·b)

Сокращаем всё лишнее и получаем:

ab + ba = 2(a·b)

Симметричная часть нашего нового умножения (ab+ba) оказалась старым добрым скалярным произведением! Но что же такое ab само по себе?

Давайте рассмотрим самый интересный случай: a и b перпендикулярны.

Пусть наши базисные векторы e₁ и e₂. Их скалярное произведение равно нулю.

e₁·e₂ = 0.

Подставим это в нашу формулу

e₁*e₂ + e₂*e₁ = 2 * 0 = 0

А это значит… e₁*e₂ = -e₂*e₁ Мы не придумали это. Мы не взяли это с потолка. Мы вывели антикоммутативность для ортогональных векторов из простейшего требования обратимости умножения.

Часть 3. Исследуем плоскость — рождение нового числа

Давайте останемся на плоскости. У нас есть базис e₁, e₂ и три правила игры:

Возьмем два произвольных вектора a = a₁e₁ + a₂e₂ и b = b₁e₁ + b₂e₂ и просто перемножим их в лоб, как многочлены:

ab = (a₁e₁ + a₂e₂)(b₁e₁ + b₂e₂)

ab = a₁b₁(e₁e₁) + a₁b₂(e₁e₂) + a₂b₁(e₂e₁) + a₂b₂(e₂e₂)

Применим наши правила: e₁e₁=1 , e₂e₂=1 и e₂e₁ = -e₁e₂ :

ab = a₁b₁ + a₁b₂(e₁e₂) - a₂b₁(e₁e₂) + a₂b₂

ab = (a₁b₁ + a₂b₂) + (a₁b₂ - a₂b₁)(e₁e₂)

Смотрите, что произошло! Наше геометрическое произведение ab само распалось на две части:

Скалярная часть: (a₁b₁ + a₂b₂). Это же в точности скалярное произведение a·b!
Не скалярная часть: (a₁b₂ - a₂b₁)(e₁e₂).
Коэффициент (a₁b₂ - a₂b₁) — это величина, пропорциональная площади параллелограмма на векторах a и b (и синусу угла между ними).

А что за таинственный зверь e₁e₂?

Он не скаляр.
Он не вектор.
Давайте посчитаем его квадрат:
Пользуясь антикоммутативностью:

(e₁e₂)² = -1

Объект, который в квадрате дает -1.

Где-то мы это уже видели… Да это же аналог м��имой единицы i!

Этот объект I = e₁e₂ называется бивектором. Он не стрелка. Он — сама ориентированная плоскость e₁e₂.

Он говорит: «Я — плоскость, в которой вращение идет от e₁ к e₂».

Наше геометрическое произведение ab — это мультивектор.

ab = (скалярная часть) + (бивекторная часть)

ab = a·b + a∧b

Здесь a∧b = (a₁b₂ - a₂b₁)I — это внешнее произведение.

Оно представляет собой ориентированную площадь.

Ориентация тут означает, что если поменять два вектора местами, то она умножится на .

Часть 4. Открываем формулу отражения. Путь проб и ошибок.

Итак, мы договорились, что вектор a — это зеркало, а отражение — его главное предназначение. Давайте теперь найдем математический язык для этого.

Наша цель — найти формулу, которая берет произвольный вектор v и отражает его в зеркале, заданном единичным вектором a.

Для простоты возьмем нашу плоскость с базисом e₁, e₂.

Пусть зеркалом будет сама ось e₁. Какой вектор v мы будем отражать?

Давайте возьмем самый общий:

v = v₁e₁ + v₂e₂.

Что мы ожидаем получить после отражения в "зеркале" e₁? Компонента вдоль e₁ должна остаться, а компонента вдоль e₂ (перпендикулярная зеркалу) — инвертироваться. Ожидаемый результат:

v' = v₁e₁ - v₂e₂.

Теперь попробуем найти эту формулу, используя наше новое геометрическое произведение.

Попытка №1: Умножение слева

Самое простое, что приходит в голову — просто умножить v на e₁ слева:

e₁v = e₁(v₁e₁ + v₂e₂) = v₁(e₁e₁) + v₂(e₁e₂) = v₁ - v₂e₁e₂

(Напомню e₁e₁ = 1 и e₁e₂ = -e₂e₁)

Что это? Скаляр v₁ минус бивектор -v₂e₁e₂. Это даже не вектор. Результат интересный, но это точно не наше отражение. Мимо.

Попытка №2: Умножение справа

Хорошо, попробуем умножить справа:

ve₁ = (v₁e₁ + v₂e₂)e₁ = v₁(e₁e₁) + v₂(e₂e₁) = v₁ + v₂(e₂e₁) = v₁ - v₂(e₁e₂)

Снова скаляр плюс бивектор. Опять мимо.

Попытка №3: "Сэндвич"

Кажется, простого умножения недостаточно. Мы получаем объекты более высокой "степени" (бивекторы). Может, нужно как-то от них избавиться? Что, если мы "обернем" наш вектор v с двух сторон? Попробуем конструкцию e₁ve₁:

e₁ve₁ = e₁ * (v₁ - v₂e₁e₂)

e₁ve₁ = v₁e₁ - v₂e₁e₁e₂ = v₁e₁ - v₂(1)e₂ = v₁e₁ - v₂e₂

Бинго!

v' = v₁e₁ - v₂e₂.

Мы получили в точности тот результат, который ожидали.

Формула отражения:

отражение вектора v в зеркале, заданном единичным вектором a, описывается сэндвич-произведением:

v' = ava

Работает ли это для любого вектора, а не только для базисного e₁?

Да! Мы можем доказать, что если разложить v на компоненты v_∥ и v_⊥ относительно любого единичного вектора a, то операция ava всегда сохранит v_∥ и инвертирует v_⊥ , что и является определением отражения.

Доказательство: почему ava — это универсальная формула отражения

Хорошо, наш трюк с "сэндвичем" e₁ve₁ сработал идеально для отражения относительно оси e₁. Но не было ли это просто удачным совпадением? Давайте докажем, что формула v' = ava работает для отражения относительно любого единичного вектора a.

Это доказательство не просто покажет, что формула верна. Оно вскроет, насколько глубоко наше новое умножение "понимает" геометрию.

Шаг 1: Раскладываем вектор на компоненты

Давайте разложим наш вектор v на две компоненты относительно вектора-зеркала a:

v_∥ (v-параллельная).
Компонента v, которая параллельна a. Это просто проекция v на a.
v_⊥ (v-перпендикулярная).
Компонента v, которая перпендикулярна a. Это то, что останется от v, если вычесть из него параллельную часть.

Таким образом:

v = v_∥ + v_⊥

Определение отражения:

мы хотим, чтобы наше преобразование оставило v_∥ без изменений (ведь она уже лежит на "линии" зеркала) и инвертировало v_⊥ (ведь она перпендикулярна зеркалу).

Наша цель — доказать, что ava = v_∥ - v_⊥

Шаг 2: Смотрим, как ava действует на каждую компоненту по отдельности

Поскольку наше умножение дистрибутивно, мы можем написать:

Теперь проанализируем каждое слагаемое.

Анализ a(v_∥)a (параллельная часть):

По определению, параллелен a. Это значит, что — это просто a, умноженный на какой-то скаляр.
.
Ключевое свойство: скаляры коммутируют со всем. Их можно выносить за скобки и передвигать где угодно.
Давайте посчитаем: .
Что такое aaa? Это (aa)a. А так как a — единичный вектор, то aa = a² = 1.
Значит, aaa = (1)a = a.
Возвращаемся к нашему выражению:

Результат А: a(v_∥)a = v_∥.

Операция ava сохраняет параллельную компоненту. Первая часть доказана!

Анализ a(v_⊥)a (перпендикулярная часть):

По определению, и a ортогональны.
А что мы знаем про геометрическое произведение двух ортогональных векторов? Они антикоммутируют! Это фундаментальное свойство, которое мы вывели ранее.

v_⊥ a = -a v_⊥

Теперь давайте применим это к нашему выражению Мы можем сгруппировать его как .
Заменим на его антикоммутированный эквивалент
Выносим минус и перегруппировываем: .
И снова, так как a — единичный вектор, aa = a² = 1.
Получаем: .

Результат Б: a(v_⊥)a = -v_⊥.

Операция ava инвертирует перпендикулярную компоненту. Вторая часть доказана!

Шаг 3: Собираем все вместе

Теперь вернемся к нашей сумме:

ava = a(v_∥)a + a(v_⊥)a

Мы только что показали, что a(v_∥)a = v_∥ и a(v_⊥)a = -v_⊥.

Подставляем эти результаты:

ava = v_∥ - v_⊥

Это в точности математическое определение отражения вектора v относительно линии, заданной вектором a.

Доказательство завершено.

Часть 5. Два отражения = поворот. Рождение ротора.

Мы начали с того, что вектор — это зеркало, а отражение — это фундаментальная операция. Что будет, если сделать два отражения подряд? Любой школьник, игравший с двумя зеркалами, чтобы списать с их помощью на контрольной, знае��: это будет поворот!

v' = ava (первое отражение)

v'' = b(v')b = b(ava)b

Сгруппируем скобки по-другому, пользуясь ассоциативностью нашего умножения:

v'' = (ba) v (ab)

Давайте посмотрим на этот новый объект R = ba.

Это результат геометрического произведения двух векторов. Это уже не просто вектор и не просто бивектор, а их сумма — мультивектор. Назовем его ротор.

А что такое ab в этой формуле? Давайте перемножим его на ba:

(ba)(ab) = b(aa)b = b(1)b = b² = 1

Значит, ab — это в точности обратный элемент к ba! То есть ab = (ba)⁻¹ = R⁻¹.

Наша формула для двух отражений (то есть, для поворота!) превращается в нечто невероятно элегантное.

Формула вращения:

v' = R v R⁻¹

Мы не использовали ни синусы, ни косинусы, ни матрицы. Мы просто сказали: "вектор — это зеркало", нашли формулу для одного отражения и применили ее дважды. Вращения достались нам практически бесплатно, как побочный продукт.

Чаcть 6. В чем обман в векторном произведении векторов?

До сих пор мы говорили "вектор a — это зеркало". И формула v' = ava работала. Но, как мы выяснили, она описывает отражение относительно линии, заданной вектором a.

А как же наше бытовое "зеркало", которое является плоскостью?

Для этого, как мы помним, нужна формула со знаком минус: v' = -ava. Здесь вектор a задает нормаль к плоскости-зеркалу.

Так какая же формула "правильная"? Обе! Они описывают два разных типа отражений.

Оказывается, что любое сложное движение (вращение, перенос) в n-мерном пространстве можно разложить на последовательность простых отражений. Это фундаментальный результат, известный как преобразования Хаусхолдера.

Отражения — это атомы, из которых состоят все движения.

И тут нас ждет сюрприз, связанный с размерностью пространства.

В 2D пространстве: "зеркало-плоскость" — это просто линия. Ее нормаль — это вектор. Линия и ее нормаль-вектор однозначно задают друг друга.
В 3D пространстве: "зеркало-плоскость" — это плоскость. Ее нормаль — это вектор. Плоскость и ее нормаль-вектор тоже однозначно задают друг друга. А что еще задает плоскость? Бивектор! В 3D пространстве каждому бивектору (плоскости) можно сопоставить единственный перпендикулярный ему вектор (псевдовектор). Это тот самый трюк, на котором основано векторное произведение. Из-за этого "случайного" совпадения в 3D можно подменять бивекторы векторами и наоборот.
В 4D и выше: "зеркало-плоскость" — это гиперплоскость (например, 3D-объем в 4D-пространстве). Ее нормаль — это вектор. А вот бивектор по-прежнему задает только 2D-плоскость и повороты на ней!

Вывод.

В пространствах размерности выше 3 бивекторы (генераторы вращений) и гиперплоскости (зеркала для отражений) — это совершенно разные объекты. Бивектор задает вращение в конкретной 2D-плоскости, а отражение происходит сразу во всем (n-1)-мерном пространстве.

Обманчивая простота нашего 3D-мира, где плоскость можно описать и бивектором, и вектором-нормалью, долгое время скрывала эту фундаментальную разницу и заставляла нас пользоваться "костылем" векторного произведения.

Геометрическая алгебра расставляет все по своим местам.

Чаcть 7. Матрицы Паули из воздуха

Те, кто знаком с квантовой механикой, знают матрицы Паули σ₁, σ₂, σ₃. Это набор матриц 2x2, которые лежат в основе описания спина. Они обладают забавными свойствами: σ₁² = σ₂² = σ₃² = I (единичная матрица) и антикоммутируют (σ₁σ₂ = iσ₃ = -σ₂σ₁).

Откуда они берутся? В геометрической алгебре они появляются сами собой.

Давайте просто отождествим наши базисные векторы e₁, e₂, e₃ с матрицами Паули!

e₁ ↔ σ₁,

e₂ ↔ σ₂,

e₃ ↔ σ₃.

Проверим наши правила:

? Да, .
для ? Да, они антикоммутируют.

Что тогда такое бивекторы?

e₁e₂ ↔ σ₁σ₂ = iσ₃

e₂e₃ ↔ σ₂σ₃ = iσ₁

e₃e₁ ↔ σ₃σ₁ = iσ₂

А тривектор (псевдоскаляр)?

e₁e₂e₃ ↔ (σ₁σ₂)σ₃ = (iσ₃)σ₃ = i(σ₃)² = iI .

Тривектор пространства — это мнимая единица i, умноженная на единичную матрицу!

Оказывается, матрицы Паули — это не какой-то абстрактный математический трюк. Это матричное представление алгебры нашего трехмерного евклидова пространства. Все эти i в их произведениях — это просто следствие того, что произведение двух векторов порождает бивектор, который в дуален вектору. Геометрическая алгебра вскрывает геометрический смысл, стоящий за матрицами спина.

Часть 8. Выведем сами элементы матриц Паули.

Наша задача: найти три матрицы 2x2, которые ведут себя в точности как наши ортонормированные векторы e₁, e₂ и e₃. То есть, они должны удовлетворять "правилам игры" геометрической алгебры:

(где I — единичная матрица 2x2).
для (антикоммутативность).

Мы будем работать с векторами-столбцами вида [α, β], где α и β — комплексные числа. Это стандартный базис для описания спина "вверх" [1, 0] и "вниз" [0, 1] .

Шаг 1. σ₃ — оператор "измерения" вдоль оси Z

В квантовой механике (или σ_z ) — это оператор, который измеряет проекцию спина на ось Z. Его собственные состояния — это спин "вверх" и спин "вниз".

Когда σ₃ действует на состояние "вверх" ↑ ([1, 0]), он должен дать .
Когда σ₃ действует на состояние "вниз" ↓ ([0, 1]), он должен дать

Давайте запишем это в матричной форме.

$\sigma_3 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

$\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} 1 \\0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a \cdot 1 + b \cdot 0 \\ c \cdot 1 + d \cdot 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a \\ c \end{array}\right)$

Мы хотим получить [1, 0] . Значит, a=1, c=0.

$\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a \cdot 0 + b \cdot 1 \\ c \cdot 0 + d \cdot 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} b \\ d \end{array}\right)$

Мы хотим получить -[0, 1] = [0, -1] . Значит, b=0, d=-1 .

Собираем матрицу: $\sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
Проверим:

$σ₃² = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}= I.$

Свойство e₃²=1 выполняется. Первая матрица найдена чисто из ее физического смысла.

Шаг 2: σ₁ — оператор "переворота"

Что должен делать оператор e₁ (или σ₁)? В нашем геометрическом мире он перпендикулярен e₃. Какое самое простое действие он может совершать над состояниями "вверх/вниз"? Переворачивать их!

σ₁ должен превращать "вверх" в "вниз": σ₁ * [1, 0] = [0, 1].
σ₁ должен превращать "вниз" в "вверх": σ₁ * [0, 1] = [1, 0].

Снова ищем матрицу

$\sigma_1 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ :

$\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} 1 \\0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a \cdot 1 + b \cdot 0 \\ c \cdot 1 + d \cdot 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a \\ c \end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a \cdot 0 + b \cdot 1 \\ c \cdot 0 + d \cdot 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} b \\ d \end{array}\right)$

Мы хотим получить [0, 1] . Значит, a=0, c=1. Мы хотим получить [1, 0] . Значит, b=1, d=0.

Собираем матрицу:

$\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ Проверим σ₁²=1 :

$σ₁² = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}= I.$

Выполнено.

Самостоятельно можете проверить антикоммутативность с .

Шаг 3: σ₂ — магия Геометрической Алгебры

Мы могли бы пытаться угадать геометрический смысл , но у нас есть путь лучше. В Геометрической Алгебре объекты порождают друг друга!

Мы знаем, что в 3D бивектор e₁e₂ дуален вектору (с точностью до знака и ).

Давайте определим через другие векторы и псевдоскаляр

I₃ = e₁e₂e₃.

Например, e₂ = e₃e₁I₃⁻¹ .

В матричном представлении I₃ ↔ iI . Тогда

I₃⁻¹ ↔ -iI.

Давайте просто перемножим наши "векторы" σ₁ и σ₃ и посмотрим, что получится.

Их произведение должно быть как-то связано с σ₂.

$σ₁σ₃ = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1& 0 \end{pmatrix}.$

Это не , это бивектор e₁e₃ .

Давайте воспользуемся свойством σ₁σ₂ = iσ₃ .

Отсюда σ₂ = -iσ₁σ₃ .

$σ₂ = \begin{pmatrix} 0 & -i*(-1) \\ -i*1& 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -i*(-1) \\ -i*1& 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{pmatrix}.$

Постойте-ка, давайте-ка сменим порядок. σ₃σ₁ = -iσ₂ .

Отсюда σ₂ = iσ₃σ₁ .

$σ₂ = i * \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{pmatrix}$

А давайте e_2 через произведение e_1 и e_3 ? То есть,

e_1 e_3 = I_3 e_2 ?

В матричном виде:

$\sigma_1 \sigma_3 = i \sigma_2?$

Тогда

$\sigma_2 = -i \sigma_1 \sigma_3 = -i \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{pmatrix}$

Подождите-ка. Стандартная матрица Паули σ₂ имеет вид $\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}.$

Где мы ошиблись?

Нигде! Выбор знаков (σ₁σ₂ = iσ₃ или σ₁σ₂ = -iσ₃) — это вопрос соглашения о хиральности (правая или левая система координат). Давайте просто определим e₂ через произведение, которое даст стандартный результат.

Вспомним, что бивектор e₃e₁ соответствует iσ₂. Давайте так и потребуем:

σ₃σ₁ = iσ₂

σ₂ = (1/i) σ₃σ₁ = -i σ₃σ₁

$σ₂ = -i * \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$

$\sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$

Вот она, третья матрица, полученная как продукт взаимодействия двух других.

$\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i& 0 \end{pmatrix}$

Проверим σ₂²=1 :

$\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i& 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -i*i & 0 \\ 0& -i*i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -(-1) & 0 \\ 0& -(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0& 1 \end{pmatrix} = I.$

Выполнено. Антикоммутативность с остальными тоже легко проверяется.

Вывод

Мы не "нашли" матрицы Паули. Мы их сконструировали.

мы построили из требования быть оператором измерения "вверх/вниз".
мы построили из требования быть оператором "переворота" между "вверх" и "вниз".
мы получили как геометрическое произведение σ₃ и σ₁ (с нормировкой на i).

Матрицы Паули — это не магия. Это неизбежное следствие попытки представить три ортогональных направления и их произведения в виде матриц 2x2. Геометрическая алгебра вскрывает их внутреннюю логику и показывает, что они — всего лишь одно из возможных "воплощений" вечной геометрии пространства.

Часть 9. Подведем итоги.

Давайте подведем итог, что мы открыли:

Есть только одно умножение. Геометрическое произведение ab. Оно содержит в себе всю информацию о взаимном расположении векторов.
Оно распадается на части. . Его симметричная часть — скалярное произведение (проекция). Его антисимметричная часть— бивектор (ориентированная площадь).
Оно порождает новые объекты. Умножая векторы, мы получаем бивекторы, которые в 2D ведут себя как и задают плоскость вращения.
Оно кодирует преобразования. Произведение двух векторов создает ротор — оператор вращения. Формула работает всегда и везде, от 2D-графики до специальной теории относительности.

Мы начали с простой идеи и, следуя логике, пересобрали всю векторную алгебру, сделав ее проще, мощнее и интуитивнее. Это и есть геометрическая алгебра. И мы с вами лишь приоткрыли дверь в этот удивительный мир.

Это не какая-то эзотерическая математика.

ГА активно применяется в компьютерной графике, робототехнике, электродинамике и квантовой механике. Возможно, если бы с нее начинали в вузах, у нас было бы гораздо больше инженеров и физиков, которые по-настоящему чувствуют геометрию.

А еще с помощью нее можно переписать всю физику!

Frontender`s Spectre

Хабр умирает, и это не кликбейт

Яндекс обновляет процесс найма разработчиков. Рассказываю, почему мы пошли на такой шаг

Глобальный упадок качества ПО: как катастрофа стала нормой

Давайте забудем всё про скалярное и векторное. Есть способ гораздо лучше

Розыгрыш стула, похищение прав: что нашел пентестер в пет-проекте

ООО «Твинта», ООО «ОЛОЛО АЙНАНЭ» и ООО «МАЙ ГАД»: ТОП самых забавных названий российских ОООшек

Я купил игровую консоль и написал для неё… BIOS

Великий крах качества программного обеспечения: как мы нормализовали катастрофу

Запускаем сервер в Minecraft: исследование конкурентов

Графика победила физику, или почему игры деградируют

Мы надеялись и верили, но в первом чтении приняли НДС для малого бизнеса

Почему я думаю, что инженеры прошлого писали более человечный код

Разбираем «Telega» по винтикам: «бесплатный» сыр только в мышеловке

Готовьтесь, всё подорожает ещё раз

В AWS утро начинается не с кофе. Пал US-EAST-1

Почему случается оверинжиниринг

Выжимаем из Go скорость до последних наносекунд

«Экономика секунд»: как авиакомпания зарабатывает миллионы, экономя 30 секунд на каждом рейсе

Попытка одомашнить лису. Одомашнить получилось

Мы живем хорошо